Matemática Computacional - Aula 14/09/2012

Exercícios Propostos

1. Certa empresa fabrica 2 produtos P₁ e P₂. O lucro por unidade de P₁ é de 100 u.m. e o lucro unitário de P₂ é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P₁ e 3 horas para fabricar uma unidade de P₂. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P₁ e P₂ não devem ultrapassar 40 unidades de P₁ e 30 unidades de P₂ por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

Resolução
Empresa produz 2 produtos (P₁ e P₂)

Com relação a P₁

• Lucro é 100 u.m.
• Tempo para produzir é 2 horas
• Produção máxima é 40 uni/mês

Com relação a P₂

• Lucro é 150 u.m.
• Tempo para produzir é 3 horas
• Produção máxima é 30 uni/mês

Tempo mensal disponível para produção das duas unidades é de 120 horas

Definição das Variáveis

• Variável a ser otimizada

           Máx.lucro: lucro máximo a ser atingido por mês

• Variáveis básicas

           x₁: Quantidade ótima de produção/mês de P₁
           x₂: Quantidade ótima de produção/mês de P₂

Função Objetivo
Máx.lucro = 100 x₁ + 150 x₂

Conjunto de Restrições
2 x₁ + 3 x₂ ≤ 120
x₁ ≤ 40             restrições técnicas
x₂ ≤ 30
x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0 restrição de não negatividade

2. Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:

• a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;
• o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30;
• o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1;
• estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais.

Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro.

Resposta
Maximizar Z = 11 x₁ + 12 x₂
   sujeito a
      x₁ + 4 x₂ ≤ 10000      restrição de carne
      5 x₁ + 2 x₂ ≤ 30000   restrição de cereais
      x₁, x₂ ≥ 0                   positividade das variáveis

3. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.

Resposta
x₁: número de caixas de pêssego (OBS: laranja NÃO é variavel. TEM que levar 200 caixas)
x₂: número de caixas de tangerina

Maximizar Z = 10 x₁ + 30 x₂ + 200 * 20
   sujeito a
      x₁ ≥ 100 (pêssego)   (Dividindo tudo por 100)
      x₂ ≤ 200 (tangerina)
      x₁ + x₂ + 200 ≤ 800 (capacidade de caminhada) para x₁ = 0, x₂ = 6 / para x₂ = 0, x₁ = 6
      x₁, x₂ ≥ 0

4. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

Resposta
x₁: frequência semanal de A
x₂: frequência semanal de B

Número de telespectadores (Maximização)

Maximizar Z = 30000 x₁ + 10000 x₂
   sujeito a
      20 x₁ + 10 x₂ ≤ 80   restrição música
      x₁ + x₁ ≥ 5               restrição propaganda
      x₁ ≥ 0                      restrição produção não-negativa
      x₂ ≥ 0                      restrição produção não-negativa

5. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.

Resposta
x₁: quantidade de sapatos/hora
x₂: quantidade de cintos/hora

Lucro (Maximização)

Maximizar Z = 5 x₁ + 2 x₂
   sujeito a
      2 x₁ + x₂ ≤ 6              restrição quantidade couro
      10 x₁ + 12 x₂ ≤ 60     restrição tempo (min.)
      x₁ ≥ 0                        restrição produção não-negativa
      x₂ ≥ 0                        restrição produção não-negativa


Bom proveito!